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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
4.
Clasificar cada uno de los siguientes sistemas lineales. Cuando el sistema sea compatible determinado, obtener la solución. Cuando el sistema sea compatible indeterminado, describir el conjunto de todas las soluciones. Si es incompatible, no hacer nada.
g) $\left\{\begin{aligned}3y-2z+3w&=9\\ 2x+y+w&=5\\ x-y+z-w&=-2\end{aligned}\right.$
g) $\left\{\begin{aligned}3y-2z+3w&=9\\ 2x+y+w&=5\\ x-y+z-w&=-2\end{aligned}\right.$
Respuesta
Nos armamos la matriz ampliada asociada al sistema y escalonamos:
$\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 & 3 & | & 9 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & | & 5 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & | & -2 \end{pmatrix}$
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$F_1 \leftrightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & | & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & | & 5 \\ 0 & 3 & -2 & 3 & | & 9 \end{pmatrix}$
$F_2 - 2F_1 \Rightarrow F_2$
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & | & -2 \\ 0 & 3 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 3 & -2 & 3 & | & 9 \end{pmatrix}$
$F_3 - F_2 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & | & -2 \\ 0 & 3 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
Listo, ya está escalonado y el sistema equivalente escalonado es:
$\left\{\begin{aligned} x-y+z-w&=-2 \\ 3y-2z+3w&=9 \end{aligned}\right.$
💡 Fijate que el sistema escalonado al final terminó siendo un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas -> Es un SCI
Vamos entonces a despejar para obtener cuáles son las infinitas soluciones de este sistema...
De la segunda ecuación yo voy a elegir despejar $y$:
$3y = 9 + 2z - 3w$
$y = 3 + \frac{2}{3}z - w$
Perfecto, me quedó $y$ escrito en función de $z$ y de $w$.
Ahora reemplazo esto en la primera y despejo $x$ también en función de estas variables
$x - \left(3 + \frac{2}{3}z - w\right) + z - w = -2$
$x - 3 - \frac{2}{3}z + w + z - w = -2$
$x - 3 + \frac{1}{3}z = -2$
$x = 1 - \frac{1}{3}z$
Por lo tanto, las soluciones de este sistema son de la forma:
$(x,y,z,w) = \left(1 - \frac{1}{3}z, 3 + \frac{2}{3}z - w, z, w\right)$ con $z,w \in \mathbb{R}$
...que también lo podemos reescribir así:
$= (1, 3, 0, 0) + z\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, 0\right) + w(0, -1, 0, 1)$ con $z, w \in \mathbb{R}$
Aclaración: Dependiendo como despejes tu sistema, tu conjunto solución se puede ver escrito diferente, pero aún así sigue siendo el mismo. Una manera de chequearlo es, por ejemplo, si tenés GeoGebra 3D a mano fijate que esta es la ecuación paramétrica de un plano -> Si graficás este y, por ejemplo, el que aparece en las respuestas de la guía, vas a ver que son el mismo ;)
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